Základní pojmy 1.

Prostor elementárních jevů je množina Z, nějaký systém jejich podmnožin M, jež nazýváme jevy a který má tyto vlastnosti:

1. Z \in M
2. Z A \in  M plyne M\A \in M
3. Z A[i] \in M plyne \union A[i] \in M , je-li nožina indexů I nejvýše spočetná.

a funkce P, která je nezáporná normovaná míra na M, tj je spočetně aditivní (míra sjednocení spočetného disjunktího systému množin je součet jejich měr.) a normovaná P(X)=1.

Tyto (až na normovanost míry) vlastnosti má prostor, kde

1. X je množina reálných čísel, oynačíme R.
2. M je množina podmmnožin reálných čísel, která obsahuje všechny otevřené a uzavřené intervaly, jejich spočetná sjedncení a průniky,. . .Označíme B.
3. P je tzv. Lebesguopva míra P(<a,b>)=b-a,. . . většinou ji ale neznačíme P, protže není normovaná a nehraje tudíž roli pravděpodobnosti. Budeme ji značit třeba L.

Funkce je měřitelná, když vzory měřielných množin jsou měřitelné množiny. Měřitelná funkce  (Z,M,P) -> (R,B,L) je náhodná veličina.

Kažé měřitelné množině B v R, můžeme přiřadit míru
Q(B)=P(X^{-1}(B)),
tj. Q=P@X^{-1},  kde X^{-1}(A)je mbnožina všech jevů, které náhodná veličina zobrazí do A.
Míra Q se jmenuje zákon rozdělení náhodné veličiny X.

Položíme-li specielně B=RealRange(-infinity,x), dostaneme funkci
F(x)=P({X<x}) a tato funkce se jmenuje distribuční funkce. Přitom F také plně popisuje záíkon rozdělení veličiny X, neboť, jak známo z teorie míry, mezi Q a F je vzájemně jednoznačný vztah. V teorii pravděpodobnosti se dokazuje, že každá distribuční funkce je neklesající a zleva spojitá a platí pro ni:

• limit(F(x),x=-infinity)=0
• limit(F(x),x=infinity)=1

Distribuční funkce může mít nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti.Pokud náhodou existuje funkce f, tak že
F(x)=int(f(x),x=-infinity..x), nazývá se f hustota rozdělení (vzhledem k lebesguově míře).

Integrály

1. Integrál z konstantní funkce přes měřitelnou množinu je míra (velikost)té množiny, krát ta konstanta
2. Integrál z jednoduché funkce, to je funkce, která má jen konečně mnoho různých hodnot se spočítá tak, že se množina, přes níž se integruje rozdělí na množiny, na kterých je ta funkce konstantní, na každé se zintegruje podle bodu 1 a integrály se sečtou.
3. Integrály z ostatních funkcí jsou definovány jako limita bodu 2.Výpočty jsou různé, v některých případech (když je definiční obor dostatečně jednoduchý) lze použít Fubiniovu větu. Také lze mnohdy použít maple.

Interval spolehlivosti

Náhodná veličina X má hustotu
f(t) = piecewise(t < 1,0,1/(t^(2))); #Paretovo rozdělení s parametrem 1
Zkuste najít nějaký interval takový, aby pravděpodobnost, že její hodnota v něm leží byla 0.95. Počítejte radši v maple, experimentujte, na něco přijďte, neptejte se, jak se to má dělat, nikdo vám neporadí.

Řešení:

int(f(t),t=-infinity..infinity)=1 a skutečně tedy jde o hustotu nějaké náhodné veličiny.
Za předpokladu   
> assume(alpha>1,beta>alpha);
je integrál
int(f(t),t=alpha..beta);
roven
-(alpha-beta)/alpha/beta
a my máme vyřešit rovnici
-(alpha-beta)/alpha/beta = 95/100
 
Ta má nekonečně mnoho řešení a všechna lze najít tak, že zvolíme nějak beta a alpha pak bude
alpha = 20*beta/(20+19*beta)

Takže to může být například interval <1,20> a skutečně:
int(f(t),t=1..20)=  19  / 20
nebo třeba interval
<25/24,100>

Nezávislost a neslučitelnost jevů

Pro každý jev známe hodnotu pravděpodobnostní funkce. Hodnoty ty funkce leží v intervalu <0,1>.
Jevy A a B jsou nezávislé, když  P(A intersection B)=P(A)*P(B).
Jevy A a B jsou neslučitelné když P(A union B)=0.

Může být jev nezávislý sám na sobě?
Může, pokud P(A)=P(A intersection A)=P(A)*P(A)=P(A)^2 a jsou, jak známo dvě reálné čísla, jež se rovnají své druhé mocnině a obě leží v intervalu <0,1> na jeho opačných koncích. Jevy s touto pravděpodobností jsu buď nemožné a nebbo jisté.

Může být jev neslučitelný sám se sebou?
Může, pokud P(A)=P(A union A)=P(A)+P(A)=2*P(A) a existuje jedno číslo, které e rovná svému dvojnásobku a to 0. Nemožný jev je sám se sebou neslučitelný. A co víc, je neslučitelný s každým jevem. A také forall A: 0=0*P(A)=P({} union 0)=P(emptyset union A) prázdná množina, která je nemožný jev, je s každým jevem nezávislá. I množina Omega, sjednocení všech jevů a jistý jev je s každým jevem nezávislá:
P(A)*1=P(A)*P(Omega)=P(A intersection Omega)=P(A)

Na orkutu jsou kódy maple k řešení příkladů do dalšího cvičení, tak e na to zkuste podívat, ať víte, na co se chcete v čajovně ptát.

Pojmy nezávislost a neslučitelnost

Pomocí pravděpodobnostní funkce (hustotě pravděpodobnosti) jsme definovali pojem nezávislosti (ten je důležitější) a neslučitelnosti. Nezávislost jevů není něco, o čem by se mělo rozhodovat instinktivně, nebo intuitivně. Definice je algebraická: pokud pravděpodobnost společného nastoupení se rovná součinu pravděpodobností, jsou jevy nezávislé.

Otázka: Mohou být jevy, které jsou neslučitelné nezávislé?

Co lze čekat od kursu statistiky

Přesnou formulaci aktuálních požadavků dr. Králová ještě nezveřejnila, tak můžeme provést alespoň fundovaný odhad podle toho, jaké požadavky na ukončení byly loni: Jsou to dvě písemné zkoušky jedna  uprostřed semestru a druhá na jeho konci. Je nutné obě napsat alespoň na  polovinu bodů. A výsledná známka se počítá ze součtu bodů.

A co se učí? V prvním semestru je to nejprve kombinatorika (tzv. klasická pravděpodobnost) a pak pojmosloví, tj. seznam vzorců do kterých se dosazuje ve druhém testu.  Kombinatorika může být obecně, jako celá konečná matematika velmi těžká. Tady se ale řeší jen příklady, na které lze přijít ad hoc. Takže je to taková zábava na poslední stránka příloh nedělních novin a není důvod, proč byte se tím nemohli pobavit i vy. Co se týče dosazování do vzorců, to se dělá v mateřské škole, kde v roli vzorce je krychle do jejíchž stěn jsou vyřezány různén tvary a dosadit se mají kostičky těchže tvarů. Kdo do školky nechodil, zná to, alespoň z matematiky 1.

Diskuse a virtuální cvičení a pod budou zde:
http://www.orkut.com/Main#Community?cmm=106205353