Integrály

1. Integrál z konstantní funkce přes měřitelnou množinu je míra (velikost)té množiny, krát ta konstanta
2. Integrál z jednoduché funkce, to je funkce, která má jen konečně mnoho různých hodnot se spočítá tak, že se množina, přes níž se integruje rozdělí na množiny, na kterých je ta funkce konstantní, na každé se zintegruje podle bodu 1 a integrály se sečtou.
3. Integrály z ostatních funkcí jsou definovány jako limita bodu 2.Výpočty jsou různé, v některých případech (když je definiční obor dostatečně jednoduchý) lze použít Fubiniovu větu. Také lze mnohdy použít maple.

Interval spolehlivosti

Náhodná veličina X má hustotu
f(t) = piecewise(t < 1,0,1/(t^(2))); #Paretovo rozdělení s parametrem 1
Zkuste najít nějaký interval takový, aby pravděpodobnost, že její hodnota v něm leží byla 0.95. Počítejte radši v maple, experimentujte, na něco přijďte, neptejte se, jak se to má dělat, nikdo vám neporadí.

Řešení:

int(f(t),t=-infinity..infinity)=1 a skutečně tedy jde o hustotu nějaké náhodné veličiny.
Za předpokladu   
> assume(alpha>1,beta>alpha);
je integrál
int(f(t),t=alpha..beta);
roven
-(alpha-beta)/alpha/beta
a my máme vyřešit rovnici
-(alpha-beta)/alpha/beta = 95/100
 
Ta má nekonečně mnoho řešení a všechna lze najít tak, že zvolíme nějak beta a alpha pak bude
alpha = 20*beta/(20+19*beta)

Takže to může být například interval <1,20> a skutečně:
int(f(t),t=1..20)=  19  / 20
nebo třeba interval
<25/24,100>

Nezávislost a neslučitelnost jevů

Pro každý jev známe hodnotu pravděpodobnostní funkce. Hodnoty ty funkce leží v intervalu <0,1>.
Jevy A a B jsou nezávislé, když  P(A intersection B)=P(A)*P(B).
Jevy A a B jsou neslučitelné když P(A union B)=0.

Může být jev nezávislý sám na sobě?
Může, pokud P(A)=P(A intersection A)=P(A)*P(A)=P(A)^2 a jsou, jak známo dvě reálné čísla, jež se rovnají své druhé mocnině a obě leží v intervalu <0,1> na jeho opačných koncích. Jevy s touto pravděpodobností jsu buď nemožné a nebbo jisté.

Může být jev neslučitelný sám se sebou?
Může, pokud P(A)=P(A union A)=P(A)+P(A)=2*P(A) a existuje jedno číslo, které e rovná svému dvojnásobku a to 0. Nemožný jev je sám se sebou neslučitelný. A co víc, je neslučitelný s každým jevem. A také forall A: 0=0*P(A)=P({} union 0)=P(emptyset union A) prázdná množina, která je nemožný jev, je s každým jevem nezávislá. I množina Omega, sjednocení všech jevů a jistý jev je s každým jevem nezávislá:
P(A)*1=P(A)*P(Omega)=P(A intersection Omega)=P(A)

Na orkutu jsou kódy maple k řešení příkladů do dalšího cvičení, tak e na to zkuste podívat, ať víte, na co se chcete v čajovně ptát.

Pojmy nezávislost a neslučitelnost

Pomocí pravděpodobnostní funkce (hustotě pravděpodobnosti) jsme definovali pojem nezávislosti (ten je důležitější) a neslučitelnosti. Nezávislost jevů není něco, o čem by se mělo rozhodovat instinktivně, nebo intuitivně. Definice je algebraická: pokud pravděpodobnost společného nastoupení se rovná součinu pravděpodobností, jsou jevy nezávislé.

Otázka: Mohou být jevy, které jsou neslučitelné nezávislé?